Álgebra Booleana
A que chamamos álgebra booleana?
Um processador é composto de transistores que realizam funções sob sinais digitais. Esses transistores, montados entre eles, formam os componentes que realizam funções muito simples. A partir desses elementos, é possível criar circuitos realizando operações bem complexas. A álgebra booleana (do nome do matemático inglês George Boole 1815 - 1864) é um meio para criartais circuitos.
A álgebra booleana é uma álgebra que traduz os sinais em expressões matemáticas. Para isso, é preciso definir cada sinal elementar por variáveis lógicas e seu processamento por funções lógicas. Certos métodos (tabela da verdade) permitem definir operações que queremos realizar e, traduzir o resultado em uma expressão algébrica. Graças a regras chamadas "leis de composição", estas expressões podem ser simplificadas. Isso permitirá de representar, graças a símbolos, um circuito lógico, ou seja, um circuito que esquematiza o arranjo dos componentes básicos (nível lógico), sem considerar a realização através dos transistores (nível físico).
Variável lógica
Um computador só manipula dados binários, assim, chamamos variável lógica um dado binário, ou seja, um dado com dois status possíveis: 0 ou 1.
Função lógica
Chamamos « função lógica » uma entidade que aceita diversos valores lógicos na entrada cuja saída (pode ter várias) pode ter dois status possíveis: 0 ou 1.
Na realidade, estas funções são exercidas por componentes eletrônicos admitindo sinais elétricos na entrada e restituindo um sinal de saída. Os sinais eletrônicos podem ter um valor de cerca de 5 volts (essa é a ordem geral de grandeza) que é representado por 1 ou 0 V, que é representado por um 0.
As portas lógicas
As funções lógicas básicas são chamadas de portas lógicas . Trata-se de funções com uma ou duas entradas e uma saída:
- A função OU (em inglês OR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de suas entradas estiver em 1
- A função E (em inglês AND) coloca sua saída em 1, caso suas duas entradas estiverem em 1
- A função OU EXCLUSIVO (em inglês XOR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de suas entradas estiver em 1 mas, não ambas, simultâneamente
- A função NÃO (também chamada de inversor) coloca sua saída em 1, caso sua entrada esteja em 0 e, vice-versa
Em geral, definimos as funções NÃO OU (comumente chamada NOR ) e NÃO E ( NAND ) como sendo a composição respectiva de um NÃO com um OU e um E.
Cronograma
Um cronograma é um diagrama que mostra a evolução das entradas e saídas em função do tempo.
Veja, por exemplo, um exemplo de um cronograma do operador E :
Este cronograma é um cronograma ideal; na realidade, os sinais elétricos não passam imediatamente de 0 a 1, os declives (aqui verticais) são oblíquos e o processamento das entradas causa um atraso nas saídas:
Expressão algébrica
O propósito da álgebra booleana é descrever o processamento de sinais, em forma de expressão algébrica. Como vimos, os sinais são representados por nomes de variáveis. As funçãos lógicas são representadas por operadores:
- a função OU é representada por um mais:
- a função E é representada por um ponto:
- a função NÃO é representada por uma barra em cima da variável inversa:
Às vezes, ela é representada por uma / diante da variável inversa
- a função OU EXCLUSIVO é representada por um mais cercado:
Uma expressão algébrica será, então, uma expressão do tipo:
Tabela da verdade
Uma tabela da verdade é uma tabela que descreve todas as possibilidades de saídas em função das entradas. Assim, colocamos as variáveis de entrada nas colunas da esquerda fazendo-as variar de modo a cobrir todas as possibilidades. A coluna (ou as colunas se a função tiver múltiplas saídas) da direita descreve a saída.
Veja, por exemplo, as tabelas da verdade das portas lógicas:
| Nome da porta | Entrada | Saída | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | S | ||||
| OU | 0 | 0 | 0 | |||
| 0 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 0 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 1 | E | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 0 | ||||
| 1 | 1 | 1 | NÃO OU | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 0 | ||||
| 1 | 1 | 0 | NÃO E | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | ||||
| 1 | 0 | 1 | ||||
| 1 | 1 | 0 | NÃO | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |||||
À partir da tabela da verdade de uma função, é possível escrever a expressão algébrica da mesma.
Ou seja, a seguinte tabela da verdade:
| Entrada | Sortie | |
|---|---|---|
| A | B | S |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
A saída vale 1 quando A vale 1 e B vale 0, a expressão algébrica desta função, então, é:
Consideremos agora a seguinte tabela da verdade:
| Entrada | Saída | ||
|---|---|---|---|
| A | B | C | S |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
A saída vale 1 quando
- A vale 0
- B vale 1
- C vale 0
ou
- A vale 1
- B vale 1
- C vale 0
Assim, a expressão algébrica desta função é :
