Álgebra Booleana

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A que chamamos álgebra booleana?

Um processador é composto de transistores que realizam funções sob sinais digitais. Esses transistores, montados entre eles, formam os componentes que realizam funções muito simples. A partir desses elementos, é possível criar circuitos realizando operações bem complexas. A álgebra booleana (do nome do matemático inglês George Boole 1815 - 1864) é um meio para criartais circuitos.

A álgebra booleana é uma álgebra que traduz os sinais em expressões matemáticas. Para isso, é preciso definir cada sinal elementar por variáveis lógicas e seu processamento por funções lógicas. Certos métodos (tabela da verdade) permitem definir operações que queremos realizar e, traduzir o resultado em uma expressão algébrica. Graças a regras chamadas "leis de composição", estas expressões podem ser simplificadas. Isso permitirá de representar, graças a símbolos, um circuito lógico, ou seja, um circuito que esquematiza o arranjo dos componentes básicos (nível lógico), sem considerar a realização através dos transistores (nível físico).

Variável lógica

Um computador só manipula dados binários, assim, chamamos variável lógica um dado binário, ou seja, um dado com dois status possíveis: 0 ou 1.

Função lógica

Chamamos « função lógica » uma entidade que aceita diversos valores lógicos na entrada cuja saída (pode ter várias) pode ter dois status possíveis: 0 ou 1.

Na realidade, estas funções são exercidas por componentes eletrônicos admitindo sinais elétricos na entrada e restituindo um sinal de saída. Os sinais eletrônicos podem ter um valor de cerca de 5 volts (essa é a ordem geral de grandeza) que é representado por 1 ou 0 V, que é representado por um 0.

As portas lógicas

As funções lógicas básicas são chamadas de portas lógicas . Trata-se de funções com uma ou duas entradas e uma saída:

A função OU (em inglês OR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de suas entradas estiver em 1
A função E (em inglês AND) coloca sua saída em 1, caso suas duas entradas estiverem em 1
A função OU EXCLUSIVO (em inglês XOR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de suas entradas estiver em 1 mas, não ambas, simultâneamente
A função NÃO (também chamada de inversor) coloca sua saída em 1, caso sua entrada esteja em 0 e, vice-versa

Em geral, definimos as funções NÃO OU (comumente chamada NOR ) e NÃO E ( NAND ) como sendo a composição respectiva de um NÃO com um OU e um E.

Cronograma

Um cronograma é um diagrama que mostra a evolução das entradas e saídas em função do tempo.
Veja, por exemplo, um exemplo de um cronograma do operador E :

Este cronograma é um cronograma ideal; na realidade, os sinais elétricos não passam imediatamente de 0 a 1, os declives (aqui verticais) são oblíquos e o processamento das entradas causa um atraso nas saídas:

Expressão algébrica

O propósito da álgebra booleana é descrever o processamento de sinais, em forma de expressão algébrica. Como vimos, os sinais são representados por nomes de variáveis. As funçãos lógicas são representadas por operadores:

a função OU é representada por um mais:

a função E é representada por um ponto:

a função NÃO é representada por uma barra em cima da variável inversa:

Às vezes, ela é representada por uma / diante da variável inversa

a função OU EXCLUSIVO é representada por um mais cercado:

Uma expressão algébrica será, então, uma expressão do tipo:

Tabela da verdade

Uma tabela da verdade é uma tabela que descreve todas as possibilidades de saídas em função das entradas. Assim, colocamos as variáveis de entrada nas colunas da esquerda fazendo-as variar de modo a cobrir todas as possibilidades. A coluna (ou as colunas se a função tiver múltiplas saídas) da direita descreve a saída.

Veja, por exemplo, as tabelas da verdade das portas lógicas:

Nome da porta	Entrada		Saída
	A	B	S
OU	0	0	0
	0	1	1
	1	0	1
	1	1	1	E	0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1	NÃO OU		0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0		NÃO E	0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0	NÃO		0		1
1		0

À partir da tabela da verdade de uma função, é possível escrever a expressão algébrica da mesma.
Ou seja, a seguinte tabela da verdade:

Entrada		Sortie
A	B	S
0	0	0
0	1	0
1	0	1
1	1	0

A saída vale 1 quando A vale 1 e B vale 0, a expressão algébrica desta função, então, é:

Consideremos agora a seguinte tabela da verdade:

Entrada			Saída
A	B	C	S
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

A saída vale 1 quando

A vale 0
B vale 1
C vale 0

A vale 1
B vale 1
C vale 0

Assim, a expressão algébrica desta função é :

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