Não tem outro jeito, só tem um, que é conectar na sua rede Wi-Fi. Você esqueceu a senha dele? Redefina-a e depois informe-a no Chromecast.
É assim que acontece.
Você deverá entrar na página web do roteador para recuperar a senha do Wi-Fi com o IP do computador. Na página aberta, você verá os campos com os identificadores: nome de usuário e senha. Dependendo do roteador a alteração de nome senha pode ser feita nesta mesma interface, caso não tiver esta opção, busque no menu do lado esquerdo da página, Setting Password ou Segurança ou algo parecido e altere os dados que quiser. Não esqueça de salvar as modificações antes de fechar a página web do roteador.